4 скорость – Специальная теория относительности. Преобразования Лоренца. Промежуток времени между событиями. Длина отрезка. Лоренцово сокращение. Четырехмерное пространство Минковского. Интервал. Собственное время. Сложение скоростей, страница 4

alexxlab
alexxlab
03.04.2020

4-ускорение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

4-ускоре́ние (четы́ре-ускоре́ние, четырёхускоре́ние) в релятивистской кинематике — четырёхвектор, обобщающий классическое ускорение и определяющийся как производная 4-скорости по собственному времени частицы:

A=dUdτ=(γuγ˙uc,γu2a+γuγ˙uu)=(γu4(a⋅u)c,γu2a+γu4(a⋅u)c2u),{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\quad \gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right),}

где

a=dudt{\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}} — 3-ускорение,
β=u/c{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {u} /c} — безразмерная 3-скорость,
γ˙u=a⋅uc2γu3=a⋅uc21(1−u2c2)3/2{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}

и γu{\displaystyle \gamma _{u}} является лоренц-фактором для 3-скорости u. Точка над переменной означает производную по координатному времени в данной системе отсчёта, а не по собственному времени τ.{\displaystyle \tau .}

В мгновенной сопутствующей инерциальной системе отсчёта u=0,{\displaystyle \mathbf {u} =0,} γu=1{\displaystyle \gamma _{u}=1} и γ˙u=0,{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0,} то есть в такой системе отсчёта

A=(0,a).{\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).}


Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии[1][2].

Таким образом, модуль 4-ускорения (который является инвариантным скаляром) равен собственному ускорению, которое «чувствует» частица, движущаяся вдоль своей мировой линии. Мировые линии, имеющие постоянную величину 4-ускорения, являются кругами Минковского, то есть гиперболами (см. гиперболическое движение) .

Даже при релятивистских скоростях 4-ускорение связано с действующей на частицу 4-силой по формуле, обобщающей классический второй закон Ньютона:

Fμ=mAμ;{\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu };}
здесь m — масса частицы.

Скалярное произведение 4-скорости и соответствующего 4-ускорения всегда равно нулю. Это легко увидеть, продифференцировав тождество U⋅U≡c2{\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} \equiv c^{2}} по собственному времени: ddτ(U⋅U)=2dUdτ⋅U=2A⋅U≡ddτc2=0.{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} )=2{\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}\cdot \mathbf {U} =2\mathbf {A} \cdot \mathbf {U} \equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.} Таким образом, 4-ускорение и сонаправленная с ней соответствующая 4-сила, действующие на частицу, всегда ортогональны её 4-скорости (и сонаправленному с 4-скоростью 4-импульсу pμ=mUμ{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }}) — в отличие от классической механики.

В общей теории относительности компоненты четырёхвектора ускорения связаны с компонентами 4-скорости через ковариантную производную по собственному времени.

Aλ:=DUλdτ=dUλdτ+ΓλμνUμUν{\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}
λμν — символы Кристоффеля).

В специальной теории относительности координаты обычно выражаются в прямолинейной инерциальной системе отсчёта, так что член с символами Кристоффеля исчезает, но иногда, когда авторы для описания ускоренной системы используют криволинейные координаты, система отсчёта не является инерциальной, но физика всё равно остаётся спецрелятивистской, так как метрика является просто координатным преобразованием метрики пространства Минковского. В таком случае должно быть использовано вышеприведённое выражение, потому что здесь символы Кристоффеля не все равны нулю.

Когда 4-сила равна нулю, на частицу действует только гравитация, и четырёхвекторная версия второго закона Ньютона (см. выше) сводится к уравнению геодезической. Частица, совершающая геодезическое движение, имеет нулевое значение для каждого компонента 4-вектора ускорения. Это согласуется с тем, что гравитация не является силой.

4-скорость Википедия

4-вектор (четы́ре-ве́ктор, четырёхве́ктор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.

  • В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1, 2, 3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
  • Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
  • 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в простых случаях это различие весьма просто.

Примеры 4-векторов[ | ]

Здесь и далее используется сигнатура (+, −, −, −){\displaystyle (+,~-,~-,~-)}.

  • 4-перемещение
    dxi=(cdt, dx, dy, dz),{\displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),}
  • 4-скорость
    ui=dxids=1cdxidτ,{\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }},} где τ{\displaystyle \tau } — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, τ=1c∫ds{\displaystyle \tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}}, измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.
  • 4-ускорение
    ai=d

§ 4. Скорость

Скорость– это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости за интервал времени называется отношение приращениярадиуса – вектора точки к промежутку времени

. (4.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением .

Единица скорости – м/с.

Для характеристики движения очень важна мгновенная скорость, т.е. скорость в данный момент времени и в данный точке траектории. Мгновенная скорость – векторная величина, равная производной по времени от радиуса вектора , рассматриваемой точки:

. (4.2)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

Модуль мгновенной скорости (скалярная величина) равен первой производной по времени

. (4.3)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяться. Поэтому можно ввести скалярную величину среднюю скорость неравномерного движения:

. (4.4)

Длина пути s, пройденного точкой за промежуток времени от дозадается интегралом:

. (4.5)

При прямолинейном движении точки направление вектора скорости сохраняется неизменным.

Движение точки называется равномерным, если модуль её скорости не изменяется с течением времени для него:

.

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным.

§ 5. Ускорение и его составляющие

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущегося тела по величине и направлению.

   Средним ускорением точки в интервале времени Δt называется вектор , равный отношению приращения вектора скорости Δк промежутку Δt.

. (5.1)

   Ускорением (мгновенным ускорением)

 точки называется векторная величина , равная первой производной скоростипо времени (или вторая производная радиус — векторапо времени):

, (5.2)

  Ускорение точки в момент времени равно пределу среднего ускорения

при

  В декартовой системе координат вектор можно записать через его координаты:

,

где ,,.

Модуль вектора ускорения

Вектор  можно представить в виде суммы двух составляющих:

Рисунок 5.1

— тангенциальная составляющая ускорения направлена по касательной траектории точки и равна

; (5.3)

Тангенциальное ускорение — характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости точки (характеризует изменение скорости по величине).

Для равномерного движения: 

; ,

где — нормальная составляющая ускорения(нормальное ускорение) направлена по нормали к траектории и рассматриваемой точке в сторону к центру кривизны траектории.

Криволинейную траекторию можно представить как совокупность элементарных участков, каждый из которых может рассматриваться как дуга окружности некоторого радиуса R (называемого радиусом кривизны кривой в окружности данной точки траектории).

Рисунок 5.2

,

, ,

. (5.4)

  Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости (характеризует изменение скорости по направлению).

Модуль полного ускорения:

. (5.5)

Классификация движений зависит от тангенциальных и нормальных составляющих:

=0, — равномерное прямолинейное движение;

, — равноускоренное движение;

, — равнозамедленное движение;

, =const – равномерное движение по окружности;

, =f(t) – равномерное криволинейное движение.

Пространство-время — Википедия

Простра́нство-вре́мя (простра́нственно-временно́й конти́нуум) — физическая модель, дополняющая пространство равноправным[1] временны́м измерением и таким образом создающая теоретико-физическую конструкцию, которая называется пространственно-временным континуумом. Пространство-время непрерывно и с математической точки зрения представляет собой многообразие с лоренцевой метрикой.

В нерелятивистской классической механике использование Евклидова пространства, не зависящего от одномерного времени, вместо пространства-времени уместно, так как время рассматривается как всеобщее и неизменное, будучи независимым от состояния движения наблюдателя. В случае релятивистских моделей время не может быть отделено от трёх измерений пространства, потому что наблюдаемая скорость, с которой течёт время для объекта, зависит от его скорости относительно наблюдателя, а также от силы гравитационного поля, которое может замедлить течение времени.

В космологии и релятивистской физике вообще концепция пространства-времени объединяет пространство и время в одну абстрактную Вселенную. Математически она является многообразием, состоящим из «событий», описанных системой координат. Обычно требуется три пространственных измерения (длина, ширина, высота) и одно временное измерение (время). Измерения — независимые составляющие координатной сетки, необходимые для локализации точки в некотором ограниченном «пространстве». Например, на Земле широта и долгота — две независимые координаты, которые вместе однозначно определяют положение. В пространстве-времени координатная сетка, которая простирается в 3+1 измерениях, локализует события (вместо просто точки в пространстве), то есть время добавляется как ещё одно измерение в координатной сетке. Таким образом, координаты определяют где и когда происходят события. Однако единая природа пространства-времени и его независимость от выбора координат позволяют предположить, что чтобы выразить временную координату в одной системе координат, необходимы как временная, так и пространственная координаты в другой системе координат. В отличие от обычных пространственных координат, в пространстве-времени возникает понятие светового конуса, накладывающее ограничения на допустимые координаты, если одна из них везде должна быть временной. Эти ограничения жёстко связаны с особой математической моделью, которая отличается от Евклидова пространства с его очевидной симметрией.

В соответствии с теорией относительности, Вселенная имеет три пространственных измерения и одно временное измерение, и все четыре измерения органически связаны в единое целое, являясь почти равноправными и в определённых рамках (см. примечания ниже) способными переходить друг в друга при смене наблюдателем системы отсчёта.

В рамках общей теории относительности пространство-время имеет и единую динамическую природу, а его взаимодействие со всеми остальными физическими объектами (телами, полями) и есть гравитация. Таким образом, теория гравитации в рамках ОТО и других метрических теорий гравитации есть теория пространства-времени, полагаемого не плоским, а способным динамически менять свою кривизну.

До начала двадцатого века время полагалось независимым от состояния движения, протекающим с постоянной скоростью во всех системах отсчёта; однако затем эксперименты показали, что время замедляется при больших скоростях одной системы отсчёта относительно другой. Это замедление, названное релятивистским замедлением времени, объясняется в специальной теории относительности. Замедление времени подтвердили многие эксперименты, такие как релятивистское замедление распада мюонов в потоке космических лучей и замедление атомных часов на борту космического челнока, ракеты и самолётов относительно установленных на Земле часов. Длительность времени поэтому может меняться в зависимости от событий и системы отсчёта.

Термин пространство-время получил широкое распространение далеко за пределами трактовки пространства-времени с нормальными 3+1 измерениями. Это действительно соединение пространства и времени. Другие предложенные теории пространства-времени включают дополнительные измерения, обычно пространственные, но существуют некоторые умозрительные теории, включающие дополнительные временные измерения, и даже такие, которые включают измерения, не являющиеся ни временными, ни пространственными (например, суперпространство)[2]. Вопрос о том, сколько измерений необходимо для описания Вселенной, открыт до сих пор. Умозрительные теории, такие как теория струн, предсказывают 10 или 26 измерений (с М-теорией, предсказывающей 11 измерений: 10 пространственных и 1 временное), но существование более четырёх измерений имело бы значение только на субатомном уровне.

Рисунок 1-1. Каждое место в пространстве-времени обозначается четырьмя числами, определяемыми системой отсчёта: положение в пространстве и время (которое можно визуализировать как снятие показаний часов, расположенных в каждой позиции в пространстве). ‘Наблюдатель’ синхронизирует эти часы в соответствии со своей собственной системой отсчёта. Примеры координат в пространстве-времени Пример двумерного пространства-времени с двумя системами координат. Схематичный рисунок без соблюдения некоторых пропорций.

Нерелятивистская классическая механика рассматривает время как универсальную величину измерения, которая является однородной во всем пространстве и которая отделена от пространства. Классическая механика предполагает, что время имеет постоянную скорость течения, которая не зависит от состояния движения наблюдателя (англ.)русск. или чего-либо внешнего.[3]

В контексте специальной теории относительности время не может быть отделено от трёх измерений пространства, поскольку наблюдаемая скорость течения времени объекта зависит от скорости объекта относительно наблюдателя. Общая теория относительности, кроме того, даёт объяснение того, как гравитационные поля могут замедлять течение времени для объекта, наблюдаемого за пределами это поля.

В обычном пространстве позиция определяется тремя числами, известными как размерность. В декартовой системе координат они называются x, y и z. Позиция в пространстве-времени называется событием, и требует указания четырёх чисел: трёхмерное местоположение в пространстве, а также положение во времени (рис. 1). Таким образом, пространство-время четырёхмерное. Событие — то, что происходит в определённое мгновение в одной точке пространства-времени, представленной набором координат: x, y, z и t.

Слово «событие», используемое в теории относительности, не следует путать с использованием слова «событие» в обычном разговоре, где оно может означать нечто вроде концерта, спортивного события или сражения. Это не математические «события» в том смысле, в котором это слово используется в теории относительности, потому что они имеют конечную и ненулевую длительность. В отличие от таких событий как фейерверки или молнии, математические события имеют нулевую продолжительность и представляют собой единственную точку пространства-времени.

Путь частицы через пространство-время можно рассматривать как последовательность событий. Ряд событий можно связать вместе, чтобы сформировать линию, которая представляет движение этой частицы в пространстве-времени. Эта линия называется мировой линией частицы.[4]: 105

Математически пространство-время является многообразием, то есть локально «плоским» рядом с каждой точкой так же, как при достаточно малых масштабах глобус кажется плоским.[5] Очень большой масштабный коэффициент c{\displaystyle c} (обычно называемый скоростью света) соотносит расстояния, измеренные в пространстве, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного коэффициента (почти 300 000 км в пространстве, что эквивалентно 1 секунде во времени), а также тот факт, что пространство-время является многообразием, означает, что при обычных, нерелятивистских скоростях и на обычных расстояниях на человеческом уровне мало кто может заметить отличия от евклидового пространства. Только с появлением высокоточных научных измерений в середине XIX века, таких как эксперимент опыт Физо и эксперимент Майкельсона, возникли загадочные расхождения между наблюдениями и прогнозами на основе неявного предположения о евклидовом пространстве.[6]

В специальной теории относительности термин «наблюдатель», в большинстве случаев, означает систему отсчёта, в которой производятся измерения объектов или событий. Это использование значительно отличается от обычного значения термина. Системы отсчёта являются нелокальными конструкциями, и в соответствии с таким использованием термина не имеет смысла говорить о том, что наблюдатель имеет какое либо положение. На рис. 1-1 представьте, что рассматриваемая система отсчёта оснащена плотной решёткой часов, синхронизированной в этой системе отсчёта, которая неограниченно продолжается на протяжении трёх измерений пространства. Любое конкретное место решётки не имеет значения. Часовая решётка часов используется для определения времени и положения событий, происходящих во всей системе отсчёта. Термин наблюдатель относится ко всему набору часов, связанным с одной инерциальной системой отсчёта.[7]: 17-22 В этом идеализированном случае каждая точка пространства имеет связанные с ней часы, и поэтому часы регистрируют каждое событие мгновенно, без задержки между событием и его записью. Однако реальный наблюдатель увидит задержку между испусканием сигнала и его обнаружением из-за конечности скорости света. При синхронизации часов учитывается время распространения сигнала и часы корректируются на величину времени его распространения.

Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно более старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном понимании. Обычно смысл термина ясен из контекста.

Физики различают понятия измерять и наблюдать (после установления задержки распространения сигнала) от того, что визуально видно без таких корректировок. Ошибки в понимании отличий того, что измеряется/наблюдается от того, что видится, является источником многих ошибок среди начинающих изучение теории относительности.[8]

Пространство-время в специальной теории относительности[править | править код]

Интервал[править | править код]

В трёх измерениях расстояние Δd{\displaystyle \Delta {d}} между двумя точками может быть определено с использованием теоремы Пифагора:

(Δd)2=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2{\displaystyle {\left(\Delta {d}\right)}^{2}={\left(\Delta {x}\right)}^{2}+{\left(\Delta {y}\right)}^{2}+{\left(\Delta {z}\right)}^{2}}

Хотя два наблюдателя могут измерять положение x, y и z двух точек, используя разные системы координат, расстояние между точками будет для обоих одинаковым (при условии, что они измеряют с использованием тех же единиц). Расстояние таким образом «инвариант».

Однако в специальной теории относительности расстояние между двумя точками больше не сохраняется при измерении двумя разными наблюдателями из-за сокращения Лоренца, если один из наблюдателей движется. Ситуация ещё больше осложняется, если две точки разделены и расстоянием и временем. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном и том же месте, но в разное время, наблюдатель, движущийся относительно первого, увидит два события, происходящие в разных местах. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями придётся использовать другой способ измерения.

В четырёхмерном пространстве-времени аналогом расстояния является «интервал». Хотя время входит в четвёртое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственные измерения и поэтому пространство Минковского существенно отличается от четырёхмерного евклидова пространства. Основная причина слияния пространства и времени в пространство-время состоит в том, что пространство и время не являются инвариантными, то есть в соответствующих условиях разные наблюдатели будут не согласны относительно промежутка времени (из-за замедления времени) или расстояния (из-за лоренцева сокращения длины) между двумя событиями. Но специальная теория относительности обеспечивает новый инвариант, называемый интервалом пространства-времени, который объединяет расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые измеряют время и расстояние, получат один и тот же интервал пространства-времени между любыми двумя событиями. Предположим, что наблюдатель измеряет два события, разделённые во времени на Δt{\displaystyle \Delta t} и в пространстве на Δx{\displaystyle \Delta x}. Тогда интервал пространства-времени (Δs)2{\displaystyle {\left(\Delta {s}\right)}^{2}} между двумя событиями, разделёнными расстоянием Δx{\displaystyle \Delta {x}} в пространстве и Δct=cΔt{\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t} в ct{\displaystyle ct}-координате:

(Δs)2=(Δct)2−(Δx)2{\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}}, или для трёх пространственных измерений, (Δs)2=(Δct)2−(Δx)2−(Δy)2−(Δz)2{\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}[9]

Постоянная c{\displaystyle {\textrm {c}}}, скорость света, преобразует единицы измерения времени (в секундах) в единицы измерения расстояния (в метры).

Примечание по обозначениям: Хотя для краткости часто встречаются интервальные выражения, выраженные без дельт, включая большинство следующих обсуждений, следует понимать, что в общем случае x{\displaystyle x} означает Δx{\displaystyle \Delta {x}} и т. д. Нам всегда интересны «изменения» пространственных или временных значений координат, относящихся к двум событиям, и, поскольку нет выделенного начала системы отсчёта, конкретные значения координат не имеют существенного значения.

\Delta {x} Рисунок 2-1. Диаграмма пространства-времени, иллюстрирующая два фотона, A и B, возникающие в одном и том же событии, и объект С с досветовой скоростью.

Уравнение выше похоже на теорему Пифагора, за исключением знака минус между выражениями (Δct)2{\displaystyle (\Delta ct)^{2}} и (Δx)2{\displaystyle (\Delta x)^{2}}. Заметим также, что интервал пространства-времени представляет собой величину s2{\displaystyle s^{2}}, а не s{\displaystyle s}. Причина в том, что в отличие от расстояний в евклидовой геометрии интервалы в пространстве-времени Минковского могут быть отрицательными. Вместо того, чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматривают s2{\displaystyle s^{2}} как отдельный символ сам по себе, а не квадрат величины.

Из-за знака минус интервал пространства-времени между двумя отдельными событиями может быть равен нулю. Если s2{\displaystyle s^{2}} является положительным, интервал пространства-времени является времениподобным, что означает, что два события разделяются больше временем, чем пространством. Если s2{\displaystyle s^{2}} отрицательный, интервал пространства-времени является пространственно-подобным, что означает, что два события разделены больше пространством, чем временем. Пространственно-временные интервалы равны нулю, когда x=±ct{\displaystyle x=\pm {\textrm {c}}\,t}. Другими словами, интервал чего-то движущегося со скоростью света между двумя событиями на мировой линии равен нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым. Фотон, попавший в наш глаз от далёкой звезды, не имеет возраста, несмотря на то, что (с нашей точки зрения) провёл годы в пути.

Диаграмма пространства-времени обычно рисуется только с одной пространственной и одной временной осью. На рис. 2-1 представлена пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая мировые линии (то есть пути в пространстве-времени) двух фотонов A и B, вышедших из одного и того же события и идущих в противоположных направлениях. Кроме того, C иллюстрирует мировую линию объекта с досветовой скоростью. Вертикальная координата времени имеет масштаб c{\displaystyle {\textrm {c}}}, так что она имеет те же единицы (метры), что и пространственная ось. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ± 1. Другими словами, каждый метр, который фотон перемещается влево или вправо, требует приблизительно 3,3 наносекунды времени.

Примечание по обозначениям: В литературе по теории относительности есть две формы записи:

s2=(ct)2−x2−y2−z2{\displaystyle s^{2}=({\textrm {c}}t)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
и
s2=−(ct)2+x2+y2+z2{\displaystyle s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Эти формы записи связаны с сигнатурой метрики (+ − − −) и (− + + +). Отличие состоит в расположении координаты времени. Обе формы широко используются в научном поле.

Система отсчёта[править | править код]

{\displaystyle s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}} Рисунок 2-2. Диаграмма Галилея двух систем отсчёта в стандартной конфигурации. {\displaystyle s^{2}=-({\textrm {c}}t)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}} Рисунок 2-3. (а) Диаграмма Галилея двух систем отсчёта в стандартной конфигурации. (б) Пространственно-временная диаграмма двух систем отсчёта. (c) Пространственно-временная диаграмма, показывающая путь импульса отражённого света.

При сравнении измерений, выполненных движущимися относительно друг друга наблюдателями в разных инерциальных системах отсчёта, полезно работать с системами отсчёта в стандартной конфигурации. На рис.2-2 показаны две движущиеся относительно друг друга галлиеевы системы отсчёта (то есть обычные трёхмерные пространственные системы отсчёта). Система S принадлежит первому наблюдателю O, а система S’ принадлежит второму наблюдателю O’.

  • Оси x, y, z системы S ориентированы параллельно относительно соответствующих осей системы S’.
  • Система S’ перемещается в направлении оси x системы S с постоянной скоростью v, измеренной в системе S.
  • Начала отсчёта систем S и S ‘совпадают, когда время t= 0 для системы S и t’ = 0 для системы S’.[4]:107

Рис. 2‑3a представляет собой повёрнутый в другом направлении рис. 2‑2. Рис. 2‑3b иллюстрирует диаграмму пространства-времени с точки зрения наблюдателя О. Поскольку S и S’ находятся в стандартной конфигурации, их начала отсчёта совпадают в момент t = 0 в системе S и t′ = 0 в системе S’. Ось ct ‘проходит через события в системе S’, которые имеют x′ = 0. Но точки с x′ = 0 движутся в направлении x системы S со скоростью v, так что они не совпадают с осью ct в любое отличное от нуля время. Поэтому ось ct’ наклоняется относительно оси ct на угол θ, заданный формулой

tan⁡ θ=v/c.{\displaystyle \tan \ \theta =v/c.}

Ось x’ также наклоняется относительно оси x. Чтобы определить угол этого наклона, напомним, что наклон мировой линии светового импульса всегда ±1. Рис. 2‑3c представляет собой диаграмму пространства-времени с точки зрения наблюдателя O’. Событие P представляет собой излучение светового импульса при x′ = 0, ct′ = −a. Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии a от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в x′ = 0, ct′ = a (событие R).

Те же события P, Q, R нарисованы на рис. 2‑3b в системе наблюдателя O. Пути света имеют наклоны = 1 и −1 так что △PQR образует прямоугольный треугольник. Так как OP = OQ = OR, угол между x’ и x должен быть также θ.

В то время как покоящаяся система отсчёта имеет пространственные и временные оси, которые пересекаются под прямым углом, движущаяся система отсчёта имеет острый угол между осями. Но фактически системы отсчёта эквивалентны. Асимметрия рисунка обусловлена неизбежными искажениями того, как координаты пространства-времени отображаться на прямоугольную систему координат, и это следует считать не более странным, чем то, как на земной проекция Меркатора относительные размеры площади поверхности вблизи полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно больше относительно площади поверхности вблизи экватора.

Световой конус[править | править код]

{\displaystyle \tan \ \theta =v/c.} Рисунок 2-4. Световой конус (красные линии ‘word lines of light’), центрированный на событии, делит остальную часть пространства-времени на будущее (FUTURE), прошлое (PAST) и «где-то ещё» (ELSEWHERE).

На рисунке 2-4 событие O находится в начале отсчёта пространственно-временной диаграммы, две диагональные линии представляют все события, которые имеют нулевой интервал пространства-времени относительно события в начале отсчёта. Эти две линии образуют то, что называется световым конусом события O, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2‑5) приводит к появлению двух конусов, которые касаются друг друга вершинами в O. Один конус распространяется в будущее (t>0), а другой — в прошлое (t<0).

{\displaystyle \tan \ \theta =v/c.} Рисунок 2-5. Световой конус в 2D пространстве плюс временное измерение. Перевод обозначений: Observer — наблюдатель; Space — пространство; Time — время; Past light cone — световой конус прошлого; Future light cone — световой конус будущего; Hypersurface of the present — гиперплоскость настоящего

Световой (двойной) конус относительно его вершины делит пространство-время на отдельные области. Внутренняя часть светового конуса будущего (верхняя часть, future light cone) состоит из всех событий, которые отделены от вершины бо́льшим «временным» расстоянием, чем необходимо, чтобы пересечь их «пространственное расстояние» на скорости света; эти события составляют времениподобное будущее события O. Аналогично, времениподобное прошлое включает в себя внутренние события светового конуса прошлого (нижняя часть, past light cone). Таким образом, времениподобные интервалы Δct больше, чем Δx, xnj делает времениподобные интервалы положительными. Область, внешняя по отношению к световому конусу, состоит из событий, которые отделены от события О большим пространством, чем можно пересечь на скорости света за заданное время. Эти события включают в себя так называемую пространственно-подобную область события О, обозначенную на рис. 2-4 как «где-то ещё» (elsewhere). События на самом световом конусе называются светоподобными (или нуль отделяемыми) от O. Из-за инвариантности интервала пространства-времени все наблюдатели будут иметь один и тот же световой конус для любого заданного события и, таким образом, согласятся с таким общим разделением пространства-времени.[10]:220

Световой конус играет важную роль в концепции причинности. Возможно, что досветовой сигнал перемещается от положения и времени O к положению и времени D (рис.2-4). Следовательно, событие O может быть причинное влияние события D. Световой конус будущего содержит все события, на которые может оказывать причинное влияние O. Аналогично, возможно, что досветовой сигнал идёт от положения и времени A к положению и времени O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могут иметь причинное влияние на O. А также, если предположить, что сигналы не могут двигаться быстрее, чем скорость света, любое событие, например, например, B или C, в пространственноподобной области («где-то ещё»), не могут влиять на событие O, и они не могут быть затронуты влиянием события O. При этом предположении исключается любая причинно-следственная связь между событием O и любыми событиями в пространственноподобной области светового конуса.[11]

Относительность одновременности[править | править код]

{\displaystyle \tan \ \theta =v/c.} Рисунок 2-6. Анимация, иллюстрирующая относительность одновременности.

Все наблюдатели согласятся, что для любого заданного события любое событие в световом конусе будущего (относительного заданного события) происходит после заданного события. Аналогично, для любого заданного события событие в световом конусе прошлого (относительно заданного события) происходит до заданного события. Отношение до-после, наблюдаемое для событий со времениподобным разделением, остаётся неизменным независимо от системы отсчёта наблюдателя, то есть независимо от движения наблюдателя. Ситуация совершенно отличается для пространственно-подобно разделённых событий. Рис.2-4 нарисован для системы отсчёта наблюдателя, движущегося с v = 0. В этой системе отсчёта событие C происходит после события O, и событие B происходит до события O. В другой системе отсчёта порядок этих событий, не связанных причинно, может быть обратным. В частности, следует отметить, что если два события являются одновременными в конкретной системе отсчёта, они обязательно разделяются пространственноподобным интервалом и, следовательно, причинно не связаны друг с другом. То, что одновременность не является абсолютной, а зависит от системы отсчёта наблюдателя, называется относительность одновременности.[12]

На рис. 2-6 показано использование пространственно-временных диаграмм при анализе относительности одновременности. События в пространстве-времени являются инвариантными, но системы координат преобразуются, как обсуждалось выше для рис. 2-3. Три события (A, B, C) являются одновременными из системы отсчёта наблюдателя, движущегося со скоростью v = 0. Из системы отсчёта наблюдатель, движущийся со скоростью v = 0,3 c, события происходят в порядке C, B, A. Из системы отсчёта наблюдателя, движущегося со скоростью v = -0.5 c , события происходят в порядке A, B, C. Белая линия представляет собой плоскость одновременности, которая перемещается из прошлого наблюдателя в будущее наблюдателя, выделяя события, находящиеся на ней. Серая область — световой конус наблюдателя, который остаётся неизменным.

Пространственноподобный интервал пространства-времени даёт такое же расстояние, которое наблюдатель мог бы измерить, если измеряемые события были бы одновременными с ним. Таким образом, пространственноподобный интервал пространства-времени обеспечивает меру собственного расстояния, то есть истинного расстояния = −s2.{\textstyle {\sqrt {-s^{2}}}.} Аналогично, времениподобный промежуток пространства-времени даёт такой же показатель времени, который будет представлен совокупным тиканием часов, которые перемещаются вдоль данной мировой линии. Таким образом, времениподобный интервал пространства-времени обеспечивает меру собственного времени = s2{\textstyle {\sqrt {s^{2}}}}

4-ускорение — Традиция

4-ускорение есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора ускорения на четырёхмерное пространство-время. Любая физическая система, будь то точечная материальная частица или связанное множество частиц, обладает своим собственным 4-ускорением. Внутри тела с непрерывным распределением вещества как правило имеются градиенты скоростей движения типичных частиц этого вещества. В результате усреднённое по объёму с размерами таких частиц 4-ускорение типичных частиц внутри тел является некоторой функцией координат и времени, приводя к внутренним напряжениям в веществе.

В общем случае 4-ускорение частицы определяется как производная 4-скорости \( ~ u^\lambda \) по собственному времени \(~ \tau \) частицы: $$ ~ A^\lambda := \frac{D u^\lambda }{D\tau} = u^{\mu} \nabla_\mu u^\lambda = u^{\mu}\partial _\mu u^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . $$

В приведённом выражении используется оператор производной по собственному времени \( ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu \), обобщающий производную Лагранжа на искривлённое пространство-время, [1] а величины \(~ \Gamma^\lambda_{\mu \nu}\) представляют собой символы Кристоффеля.

Для определения 4-ускорения с ковариантным индексом требуется метрический тензор \(~ g_{\nu \lambda} \) : $$ ~ A_\nu = g_{\nu \lambda} A^\lambda = \frac{D u_\nu }{D\tau} = u^{\mu}\nabla_\mu u_\nu = u^{\mu}\partial _\mu u_\nu — \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u_\lambda = \frac{d u_\nu }{d\tau} — \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u_\lambda. $$

Отдельная частица[править]

Движение твердотельных точечных физических частиц, а также и физических систем из множества частиц, движущихся как единое целое, описывается с помощью 4-скорости. При этом скорость движения частицы или скорость центра импульсов системы непосредственно входят в пространственную компоненту 4-скорости.

Иногда удобно от собственного времени \(~ \tau \) частицы перейти к координатному времени \(~ t \) системы отсчёта, в которой движется частица. Учтём, что 4-скорость можно записать в следующем виде: $$ ~u^\lambda := \frac{d x^\lambda }{d\tau}= \left( c \frac {dt}{d\tau},\frac {d \mathbf r}{d\tau} \right) = \frac {u^0}{c} \left( c, \mathbf v \right) , $$

где \(~ x^\lambda = (ct, \mathbf r) \) – мгновенное 4-положение частицы, \( ~ c \) – скорость света, \(~ \mathbf r \) – 3-вектор положения частицы, \(~ u^0 = c \frac {dt}{d\tau}\) – временная компонента 4-скорости, \(~ \mathbf v = \frac { d \mathbf r }{dt} = (v^1,v^2,v^3) = (v_x,v_y,v_z) \) – 3-скорость частицы с соответствующими компонентами.

Для компонент 4-ускорения получается тогда следующее: $$ ~A^0 = \frac {u^0}{c} \frac{d u^0 }{dt} + \Gamma^0_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . \qquad A^1 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^1) }{dt} + \Gamma^1_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . $$ $$ ~A^2 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^2) }{dt} + \Gamma^2_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . \qquad A^3 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^3) }{dt} + \Gamma^3_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . $$

В инерциальной системе отсчёта, мгновенно сопутствующей движущейся частице, скорость \(~ \mathbf v = 0 \), фактор Лоренца \(~ \gamma = \frac {dt}{d \tau} = \sqrt {\frac {1}{1- \frac {v^2}{c^2}}} = 1\), символы Кристоффеля обнуляются, \(~ u^0 = \gamma c = c\), и обозначая в данной системе отсчёта собственное 3-ускорение в виде \(~ \mathbf a = \frac {d \mathbf v }{dt} \), для 4-ускорения получается: \( ~ A^\lambda = (0, \mathbf a) \). Поскольку в этой системе отсчёта 4-скорости с контравариантным и ковариантным индексом совпадают, \( ~ u^\lambda = (c, 0) = u_\lambda \), то скалярное произведение \( ~ u_\lambda A^\lambda = 0\). Так как скалярное произведение любых 4-векторов есть инвариант, то из равенства нулю скалярного произведения следует, что и в любой другой системе отсчёта 4-скорость и 4-ускорение частицы всегда перпендикулярны друг другу.

Если считать, что 4-скорость направлена вдоль мировой линии частицы, то тогда 4-ускорение в каждой точке будет перпендикулярно этой линии и направлено так же, как вектор кривизны мировой линии.

Применение[править]

В случае, когда на частицу действует некоторое силовое поле, ускорение частицы будет зависеть от обеих компонент этого поля, то есть от напряжённости и соответствующего соленоидального вектора. Так, напряжённость электрического поля, магнитная индукция, заряд и скорость частицы определяют величину силы Лоренца, ускоряющей частицу в электромагнитном поле. Такая же ситуация складывается и в ковариантной теории гравитации, где имеется напряжённость гравитационного поля и поле кручения.

Для полей справедлив принцип суперпозиции, согласно которому скалярный потенциал поля в некоторой точке есть арифметическая сумма скалярных потенциалов всех имеющихся источников поля, а векторный потенциал в этой точке есть векторная сумма векторных потенциалов источников поля. С помощью известных потенциалов поля нетрудно определить напряжённость и соответствующий соленоидальный вектор поля, а значит и соответствующее ускорение частицы. Для выражения силы в более общем, тензорном виде, используется понятие 4-сила, пропорциональное 4-ускорению.

В общей теории относительности гравитационная сила сводится к искривлению пространства-времени и находится через метрический тензор. В результате в отсутствие других сил частица в гравитационном поле движется по геодезической линии, причём 4-ускорение \( ~ A^\lambda \) частицы и 4-сила оказываются равными нулю. Отсюда следует уравнение геодезической как уравнение движения частицы в заданной метрике: $$ ~ A^\lambda = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = 0. $$

При аналогичных условиях в ковариантной теории гравитации гравитационное 4-ускорение частицы определяется либо через тензор гравитационного поля \(~ \Phi_{\mu \nu}\), либо через тензор энергии-импульса гравитационного поля \(~ U_{ \mu \nu}\). При этом 4-ускорение нулю не равно, пока существует не нулевая гравитационная сила. Уравнение движения твердотельной частицы есть равенство между 4-ускорением и ускорением от гравитационного поля: $$ ~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} \Phi_{\mu \nu} u^\nu = -\frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu U^{\lambda \mu} . $$

В присутствии других полей, действующих на частицу, указанные выше уравнения движения изменяются. Например, при наличии заряда \(~ q\) у частицы массы \(~ m\), уравнение движения в общей теории относительности будет следующим: [2] $$ ~ A^\lambda = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = \frac {q}{m} g^{\lambda \mu} F_{\mu \nu} u^\nu = — \frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu W^{\lambda \mu} , $$

где \(~ F_{\mu \nu}\) есть тензор электромагнитного поля, \(~ W^{\lambda \mu}\) – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, \(~ \rho_{0}\) – средняя плотность массы частицы в её собственной системе отсчёта.

В веществе внутри тела на частицу может действовать одновременно несколько полей, например, гравитационное и электромагнитное поля, поле давления, поле диссипации. В ковариантной теории гравитации гравитационное поле рассматривается как векторное поле, так же, как и электромагнитное поле. Если считать, что и другие поля в макроскопических телах описываются векторными полями и являются компонентами общего поля, то уравнение движения твердотельной частицы в указанных четырёх полях имеет вид: [3] $$ ~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} \left( \Phi_{\mu \nu} u^\nu + \frac {q}{m} F_{\mu \nu} u^\nu + f_{\mu \nu} u^\nu + h_{\mu \nu} u^\nu \right) = — \frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu (U^{\lambda \mu} + W^{\lambda \mu} + P^{\lambda \mu} + Q^{\lambda \mu}). \qquad (1) $$

Здесь \(~ f_{\mu \nu}\) – тензор поля давления, \(~ h_{\mu \nu}\) – тензор поля диссипации, \(~ P^{\lambda \mu}\) – тензор энергии-импульса поля давления, \(~ Q^{\lambda \mu}\) – тензор энергии-импульса поля диссипации.

4-импульс и 4-сила[править]

4-импульс частицы определяется как произведение массы \(~ m\) частицы на 4-скорость: $$ ~ p^\lambda := m u^\lambda = \left( \frac {E}{c}, \quad \mathbf p \right) ,$$ где \(~ E = m c u^0 \) – релятивистская энергия, \(~ \mathbf p = \frac { m u^0 \mathbf v }{c} \) – 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для вычисления 4-силы необходимо применить к 4-импульсу оператор производной по собственному времени: $$ ~ F^\lambda := \frac{D p^\lambda }{D\tau} = \frac{d p^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} p^\mu u^\nu. $$

Если масса постоянна, её можно вынести за знак дифференциала: $$ ~ F^\lambda = m \frac{D u^\lambda }{D\tau} = m A^\lambda . $$

В этом случае 4-сила будет пропорциональна массе и 4-ускорению. Если определить, что \(~ W = \frac {dE}{dt}\) есть мощность как скорость изменения энергии частицы, а \(~ \mathbf F = \frac {d \mathbf p }{dt} = (F_x, F_y, F_z) \) – 3-сила, записанная в том числе в декартовых координатах, и действующая на частицу, то компоненты 4-силы запишутся через мощность, компоненты 3-силы и через компоненты 4-ускорения так: $$ ~F^0 = \frac {u^0 W}{c^2} + \Gamma^0_{\mu \nu} p^\mu u^\nu = m A^0 . \qquad F^1 = \frac {u^0 F_x }{c} + \Gamma^1_{\mu \nu} p^\mu u^\nu = m A^1. \qquad (2) $$ $$ ~F^2 = \frac {u^0 F_y }{c} + \Gamma^2_{\mu \nu} p^\mu u^\nu= m A^2 . \qquad F^3 = \frac {u^0 F_z }{c} + \Gamma^3_{\mu \nu} p^\mu u^\nu= m A^3 . $$

Определение 4-ускорения с помощью поля ускорений[править]

Поле ускорений характеризуется своим собственным 4-потенциалом, тензором ускорений \(~ u_{\mu \nu } \) и тензором энергии-импульса поля ускорений \(~ B_{\mu \nu } \). Компонентами тензора ускорений являются компоненты двух 3-векторов – напряжённости \(~ \mathbf S \) и соленоидального вектора \(~ \mathbf N \) поля ускорений. Для твердотельной частицы 4-ускорение с ковариантным индексом может быть определено через эти величины: [4] $$ ~ A_\mu = — u_{\mu \nu } u^{\nu} = \frac {u^0 }{c} \left( -\frac {1}{c} \mathbf S \cdot \mathbf v , \quad \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ] \right) = \frac {1}{\rho_0} g_{\mu \beta} \nabla_\nu B^{\beta \nu}. \qquad (3)$$

Равенство для 4-ускорения с правой частью (3), содержащей тензор энергии-импульса поля ускорений, следует из принципа наименьшего действия. Равенство для 4-ускорения с левой частью (3) доказывается следующим образом. Для точечной твердотельной частицы 4-потенциалом поля ускорений выступает 4-скорость частицы с ковариантным индексом \(~ u_\nu \), и тензор ускорений будет равен: $$ ~ u_{\mu \nu } = \nabla_\mu u_\nu — \nabla_\nu u_\mu . $$

Умножение этого равенства на \(~ u^\nu \) даёт искомое соотношение: $$ ~ u_{\mu \nu } u^\nu = u^\nu \nabla_\mu u_\nu — u^\nu \nabla_\nu u_\mu = — u^\nu \nabla_\nu u_\mu = — A_\mu .$$

При этом было учтено равенство: \( ~ u_\nu u^\nu = c^2 \) и его ковариантная производная: $$ ~ \nabla_\mu (u_\nu u^\nu) = u_\nu \nabla_\mu u^\nu + u^\nu \nabla_\mu u_\nu = 2 u^\nu \nabla_\mu u_\nu = \nabla_\mu c^2 = 0 . $$

С помощью метрического тензора можно перейти к 4-ускорению с контравариантным индексом: $$ ~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} A_\mu = — u^\lambda_\nu u^{\nu} = \frac {1}{\rho_0} \nabla_\nu B^{\lambda \nu}. \qquad (4) $$

После подстановки (4) в правую часть (2) становится видно, что имеется связь между мощностью \(~ W \) и 3-силой \(~ \mathbf F \), с одной стороны, и скалярным произведением \(~ \mathbf S \cdot \mathbf v\) и суммой \(~ \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ] \), с другой стороны.

В плоском пространстве-времени символы Кристоффеля обнуляются, \(~ u^0 = c \gamma \), а метрический тензор имеет только диагональные компоненты, по модулю равные 1. В этом случае получается: $$ ~ W = — m \mathbf S \cdot \mathbf v = \mathbf F \cdot \mathbf v, \qquad \mathbf F = — m \left( \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ] \right). $$

Таким образом, мощность работы, совершаемой произвольной силой, и сама сила описываются через скорость движения \(~ \mathbf v \), напряжённость \(~ \mathbf S \) и соленоидальный вектор \(~ \mathbf N \) поля ускорений.

Из определения 4-потенциала и тензора ускорений следуют выражения для векторов \(~ \mathbf S \) и \(~ \mathbf N \): $$~ \mathbf {S} = — \nabla \vartheta — \frac {\partial \mathbf {U}}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times \mathbf {U}. $$

В плоском пространстве-времени скалярный потенциал поля ускорений частицы равен \(~ \vartheta = \gamma c^2 = \frac {E}{m}\), а векторный потенциал поля ускорений равен \(~ \mathbf {U} = \gamma \mathbf v = \frac {\mathbf p }{m} \). Находя с помощью этих потенциалов векторы \(~ \mathbf S \) и \(~ \mathbf N \) и подставляя их в выражения для мощности и силы, получим следующее: $$ ~ W = \mathbf v \cdot \nabla E + \mathbf v \cdot \frac {\partial \mathbf {p}}{\partial t} = \frac {dE}{dt}= \mathbf v \cdot \frac {d \mathbf p }{dt}. $$ $$ ~\mathbf F = \nabla E + \frac {\partial \mathbf {p}}{\partial t} — \mathbf v \times [ \nabla \times \mathbf p ] = \frac {d \mathbf p }{dt} . $$

Векторы \(~ \mathbf S \) и \(~ \mathbf N \) определены через частные производные, характерные для алгебры 4-векторов, и аналогично получились выражения для мощности и силы. Кроме этого, существуют ещё два выражения для силы, [2][1] с участием 3-ускорения \(~ a \) частицы: $$~ \mathbf F = m \gamma \left(\mathbf{a} +\gamma^2 \frac{ (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} \mathbf{v} \right) = m \gamma^3 \left(\mathbf{a} +\frac{ \mathbf{v} \times [\mathbf{v} \times \mathbf{a}]}{c^2} \right). $$

Система тесно взаимодействующих частиц[править]

Концепция 4-ускорения для достаточно большой системы частиц существенно отличается от 4-ускорения одиночной точечной частицы. Многочастичные взаимодействия в системе порождают новое качество, когда важным становится не движение конкретной физической частицы, а движение некоторых типичных частиц, которые в среднем характеризуют рассматриваемую систему. В результате усреднения кинетических энергий и импульсов отдельных частиц возникают ещё такие макроскопические параметры, как температура и давление. Особенностью типичной частицы является то, что среднеквадратичная скорость её движения становится функцией местоположения в системе. В простых физических системах, состоящих из частиц одной фазы или имеющих достаточно однородный состав, давление, температура и скорость типичных частиц в центре системы как правило достигают максимальной величины.

Для описания движения типичной частицы пригодны те же уравнения, что и для физической частицы, с тем отличием, что эти уравнения должны быть усреднены. Для этого требуется усреднение напряжённостей и соленоидальных векторов всех действующих полей по объёму типичной частицы по месту её нахождения. Фактически усреднение осуществляется путём использования соответствующих уравнений поля, при этом часто применяется приближение сплошной среды.

Во многих случаях в системе известны зависимости от координат и времени как полей, так и плотности массы и заряда, но неизвестно распределение 4-скорости частиц. Тогда в концепции общего поля и ковариантной теории гравитации для вычисления основных параметров системы могут понадобиться выражения, представленные в статье уравнение векторного поля:

1) Уравнение для вычисления метрики: $$~ R^{\lambda \mu } — \frac{1} {4 }g^{\lambda \mu }R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} (U^{ \lambda \mu} + W^{\lambda \mu} + P^{\lambda \mu} + Q^{\lambda \mu}), $$

где \(~ R \) – скалярная кривизна, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ \beta \) – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

2) Уравнения поля ускорений для вычисления векторов \(~ \mathbf S \) и \(~ \mathbf N \) как компонент тензора ускорений \(~ u_{\mu \nu } \): $$ \nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. $$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = — \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu, $$

где \(J^\mu = \rho_{0} u^\mu \) есть массовый 4-ток, \(~ \eta \) – постоянная поля ускорений.

Иногда проще вначале использовать волновое уравнение для вычисления 4-потенцала поля ускорения \(~ U_\mu \) $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu + R_{\mu \nu} U^\nu = \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu, $$

а затем применить 4-ротор к \(~ U_\mu \) для определения \(~ u_{\mu \nu } \).

3) Уравнение движения (1), если типичные частицы системы рассматриваются как твердотельные частицы.

4) Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений и уравнение непрерывности для массового 4-тока, соответственно: $$~ \nabla^\mu U_{\mu} = 0 . $$ $$~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha } = \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Связь метрики с 4-скоростью содержится в инварианте: $$~ g^{\mu \nu} u_{\mu} u_{\nu} = u_{\mu} u^{\mu} = c^2 . $$

Как было сказано, все физические величины в этих уравнениях должны относиться к типичным частицам и потому должны быть усреднены. Это относится в том числе к тензору Риччи, к скалярной кривизне и к космологической постоянной внутри тела. [5]

В пунктах 1) и 2) векторы \(~ \mathbf S \) и \(~ \mathbf N \), необходимые для вычисления 4-ускорения в соотношении (3), выражаются через метрику и коэффициент \(~ \eta \) поля ускорений. С помощью пункта 3) коэффициент \(~ \eta \) выражается через коэффициенты других полей. В пункте 4) накладываются дополнительные ограничения на допустимый вид функций, в том числе на скорости частиц и их потенциалы. В связи со сложностью и взаимозависимостью уравнений их часто приходится решать одновременно.

Ситуация усложняется в том случае, когда типичные частицы системы не являются твердотельными и имеют ненулевые векторные потенциалы полей. Например, частицы могут иметь спин и магнитный момент, приводящие к векторному потенциалу \(~ \mathbf U \) поля ускорений и к векторному потенциалу \(~ \mathbf A \) электромагнитного поля. В этом случае 4-потенциал поля ускорений \(~ U_\mu = \left( \frac {\vartheta }{ c}, -\mathbf{U } \right) \) уже не равен 4-скорости частицы \(~ u_\mu \). Вместо 4-ускорения, ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы: [6] $$ ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = — u_{\alpha k} J^k = — \rho_0 u_{\alpha k}u^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau}- J^k \partial_\alpha U_k . \qquad (5)$$

Из изложенного видно, что если 4-скорость в веществе изначально не задана, её надо находить из уравнений поля, а затем использовать для вычисления 4-ускорения по формуле: $$ ~ A^\lambda = \frac{D u^\lambda }{D\tau} .$$

Из сравнения (5) и (3) следует, что 4-ускорение в веществе внутри типичной частицы в первом приближении можно оценить следующим образом: $$ ~ A_\alpha \approx \frac {1}{\rho_0 } f_\alpha = \frac {dU_\alpha }{d \tau}- u^k \partial_\alpha U_k .$$

В данном выражении 4-ускорение зависит от 4-скорости \(~ u_\mu \) движения вещества внутри частицы и от 4-потенциала \(~ U_\mu \) поля ускорений как функции от координат внутри частицы и от координат самой частицы внутри системы.

При использовании общей теории относительности вместо ковариантной теории гравитации, описанный выше порядок вычисления 4-ускорения в целом остаётся. Исключением является то, что в общей теории относительности гравитационная сила и её вклад в 4-ускорение включены в метрику, что изменяет как уравнение для метрики, так и уравнение движения.

  1. а б Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. а б Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – 512 с. – (Теоретическая физика, том II).
  3. ↑ Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, pp. 13–24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.
  4. ↑ Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9, No. 1, pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. ↑ Fedosin S.G. Energy and metric gauging in the covariant theory of gravitation. Aksaray University Journal of Science and Engineering, Vol. 2, Issue 2, pp. 127-143 (2018). http://dx.doi.org/10.29002/asujse.433947. // Калибровка энергии и метрики в ковариантной теории гравитации.
  6. ↑ Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.

Внешние ссылки[править]

Скорость света — Википедия

Указано расстояние от Солнца до Земли, равное 150 миллионам километров.
метров в секунду 299 792 458
Планковских единиц 1
километров в секунду 300 000
километров в час 1,08 млрд
астрономических единиц в сутки 173
расстояние время
один метр 3,3 нс
один километр 3,3 мкс
от геостационарной орбиты до Земли 119 мс
длина экватора Земли 134 мс
от Луны до Земли 1,255 с
от Солнца до Земли (1 а. е.) 8,3 мин.
от Вояджера-1 до Земли 20 часов и 31 минута (на ноябрь 2019)[1]
один световой год 1 год
один парсек 3,26 лет
от Проксимы Центавра до Земли 4,24 лет
от Альфы Центавра до Земли 4,37 лет
от ближайшей галактики (Карликовой галактики в Большом Псе) до Земли 25 000 лет
через Млечный Путь 100 000 лет
от галактики Андромеды до Земли 2,5 млн лет
от самой удалённой известной галактики до Земли 13,4 млрд лет[2]

Ско́рость све́та (в вакууме) — абсолютная величина скорости распространения электромагнитных волн в вакууме[Прим. 2]. В физике традиционно обозначается латинской буквой «c{\displaystyle c}» (произносится как «цэ»). Скорость света в вакууме — фундаментальная постоянная, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчёта (ИСО). Она относится к фундаментальным физическим постоянным, которые характеризуют не просто отдельные тела или поля, а свойства геометрии пространства-времени в целом[3]. Из постулата причинности (любое событие может оказывать влияние только на события, происходящие позже него и не может оказывать влияние на события, произошедшие раньше него[4][5][6]) и постулата специальной теории относительности о независимости скорости света в вакууме от выбора инерциальной системы отсчёта (скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга[7]) следует, что скорость любого сигнала и элементарной частицы не может превышать скорость света[8][9][6]. Таким образом, скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц и распространения взаимодействий.

c Время распространения светового луча в масштабной модели Земля-Луна. Для преодоления расстояния от поверхности Земли до поверхности Луны свету требуется 1,255 с

Наиболее точное измерение скорости света 299 792 458 ± 1,2 м/с на основе эталонного метра было проведено в 1975 году[Прим. 3].

На данный момент считают, что скорость света в вакууме — фундаментальная физическая постоянная, по определению, точно равная 299 792 458 м/с, или 1 079 252 848,8 км/ч. Точность значения связана с тем, что с 1983 года метр в Международной системе единиц (СИ) определён как расстояние, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды[11].

В планковской системе единиц скорость света в вакууме равна 1 c{\displaystyle c}. Можно сказать, что свет проходит 1 планковскую длину за планковское время, но в планковской системе единиц скорость света c{\displaystyle c} является основной единицей, а единицы времени и расстояния — производными (в отличие от СИ, где основными являюся метр и секунда).

В природе со скоростью света распространяются (в вакууме):

Массивные частицы могут иметь скорость, приближающуюся почти вплотную к скорости света[Прим. 4], но всё же не достигающую её точно. Например, околосветовую скорость, лишь на 3 м/сек меньше скорости света, имеют массивные частицы (протоны), полученные на ускорителе (Большой адронный коллайдер) или входящие в состав космических лучей.[источник не указан 777 дней]

В современной физике считается хорошо обоснованным утверждение, что причинное воздействие не может переноситься со скоростью, большей скорости света в вакууме (в том числе посредством переноса такого воздействия каким-либо физическим телом). Существует, однако, проблема «запутанных состояний» частиц, которые, судя по всему, «узнают» о состоянии друг друга мгновенно. Однако и в этом случае сверхсветовой передачи информации не происходит, поскольку для передачи информации таким способом необходимо привлечь дополнительный классический канал передачи со скоростью света[Прим. 5].

Хотя в принципе движение каких-то объектов со скоростью, большей скорости света в вакууме, вполне возможно, однако это могут быть, с современной точки зрения, только такие объекты, которые не могут быть использованы для переноса информации с их движением (например, солнечный зайчик в принципе может двигаться по стене со скоростью большей скорости света, но никак не может быть использован для передачи информации с такой скоростью от одной точки стены к другой)[13]Перейти к разделу «#Сверхсветовое движение».

Скорость света в прозрачной среде — скорость, с которой свет распространяется в среде, отличной от вакуума. В среде, обладающей дисперсией, различают фазовую и групповую скорость.

Фазовая скорость связывает частоту и длину волны монохроматического света в среде (λ=cν{\displaystyle \lambda ={\frac {c}{\nu }}}). Эта скорость обычно (но не обязательно) меньше c{\displaystyle c}. Отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в среде называется показателем преломления среды. Если угловая частота ω{\displaystyle \omega }волны в среде зависит от волнового числа k{\displaystyle k} нелинейным образом, то групповая скорость равняется первой производной ∂ω∂k{\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}, в отличие от фазовой скорости ωk{\displaystyle {\frac {\omega }{k}}}.[14]

Групповая скорость света определяется как скорость распространения биений между двумя волнами с близкой частотой и в равновесной среде всегда меньше c{\displaystyle c}. Однако в неравновесных средах, например, сильно поглощающих, она может превышать c{\displaystyle c}. При этом, однако, передний фронт импульса всё равно движется со скоростью, не превышающей скорости света в вакууме. В результате сверхсветовая передача информации остаётся невозможной.

Арман Ипполит Луи Физо на опыте доказал, что движение среды относительно светового луча также способно влиять на скорость распространения света в этой среде.

c Фактор Лоренца (Лоренц-фактор) γ{\displaystyle \gamma } как функция скорости. Он растет от 1 (для нулевой скорости) до бесконечности (с приближением v{\displaystyle v} к c{\displaystyle c}).

Скорость, с которой световые волны распространяются в вакууме, не зависит ни от движения источника волн, ни от системы отсчёта наблюдателя[Прим. 6]. Эйнштейн постулировал такую инвариантность скорости света в 1905 году[15].Он пришёл к этому выводу на основании теории электромагнетизма Максвелла и доказательства отсутствия светоносного эфира[16].

Инвариантность скорости света неизменно подтверждается множеством экспериментов[17]. Существует возможность проверить экспериментально лишь то, что скорость света в «двустороннем» эксперименте (например, от источника к зеркалу и обратно) не зависит от системы отсчёта, поскольку невозможно измерить скорость света в одну сторону (например, от источника к удалённому приёмнику) без дополнительных договоренностей относительно того, как синхронизировать часы источника и приёмника. Однако, если применить для этого синхронизацию Эйнштейна, односторонняя скорость света становится равной двусторонней по определению[18][19].

Специальная теория относительности исследует последствия инвариантности c{\displaystyle c} в предположении, что законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта[20][21]. Одним из последствий является то, что c{\displaystyle c} — это та скорость, с которой должны двигаться в вакууме все безмассовые частицы и волны (в частности, и свет).

Специальная теория относительности имеет много экспериментально проверенных последствий, которые противоречат интуиции[22]. Такие последствия включают: эквивалентность массы и энергии (E0=mc2){\displaystyle (E_{0}=mc^{2})}, сокращение длины (сокращение объектов во время движения)[Прим. 7] и замедление времени (движущиеся часы идут медленнее). Коэффициент γ{\displaystyle \gamma }, показывающий, во сколько раз сокращается длина и замедляется время, известен как фактор Лоренца (Лоренц-фактор)

γ=11−v2c2,{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

где v{\displaystyle v} — скорость объекта. Для скоростей гораздо меньших, чем c{\displaystyle c} (например, для скоростей, с которыми мы имеем дело каждый день) разница между γ{\displaystyle \gamma } и 1 настолько мала, что ею можно пренебречь. В этом случае специальная теория относительности хорошо аппроксимируется относительностью Галилея. Но на релятивистских скоростях разница увеличивается и стремится к бесконечности при приближении v{\displaystyle v} к c{\displaystyle c}.

Объединение результатов специальной теории относительности требует выполнения двух условий: (1) пространство и время являются единой структурой, известной как пространство-время (где c{\displaystyle c} связывает единицы измерения пространства и времени), и (2) физические законы удовлетворяют требованиям особой симметрии, которая называется инвариантность Лоренца (Лоренц-инвариантность), формула которой содержит параметр c{\displaystyle c}[25]. Инвариантность Лоренца встречается повсеместно в современных физических теориях, таких как квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика, стандартная модель физики элементарных частиц и общая теория относительности. Таким образом, параметр c{\displaystyle c} встречается повсюду в современной физике и появляется во многих смыслах, которые не имеют отношения собственно к свету. Например, общая теория относительности предполагает, что гравитация и гравитационные волны распространяются со скоростью c{\displaystyle c}[26][27]. В неинерциальных системах отсчёта (в гравитационно искривлённом пространстве или в системах отсчёта, движущихся с ускорением), локальная скорость света также является постоянной и равна c{\displaystyle c}, однако скорость света вдоль траектории конечной длины может отличаться от c{\displaystyle c} в зависимости от того, как определено пространство и время[28].

Считается, что фундаментальные константы, такие как c{\displaystyle c}, имеют одинаковое значение во всём пространстве-времени, то есть они не зависят от места и не меняются со временем. Однако некоторые теории предполагают, что скорость света может изменяться со временем[29][30]. Пока нет убедительных доказательств таких изменений, но они остаются предметом исследований[31][32].

Кроме того, считается, что скорость света изотропна, то есть не зависит от направления его распространения. Наблюдения за излучением ядерных энергетических переходов как функции от ориентации ядер в магнитном поле (эксперимент Гугса — Древера), а также вращающихся оптических резонаторов (эксперимент Майкельсона — Морли и его новые вариации), наложили жёсткие ограничения на возможность двусторонней анизотропии[33][34].

В ряде естественных систем единиц скорость света является единицей измерения скорости[35]. В планковской системе единиц, также относящейся к естественным системам, она служит в качестве единицы скорости и является одной из основных единиц системы.

Верхний предел скорости[править | править код]

Согласно специальной теории относительности, энергия объекта с массой покоя m{\displaystyle m} и скоростью v{\displaystyle v} равна γmc2{\displaystyle \gamma mc^{2}}, где γ{\displaystyle \gamma } — определённый выше фактор Лоренца. Когда v{\displaystyle v} равна нулю, γ{\displaystyle \gamma } равен единице, что приводит к известной формуле эквивалентности массы и энергии E=mc2{\displaystyle E=mc^{2}}. Поскольку фактор γ{\displaystyle \gamma } приближается к бесконечности с приближением v{\displaystyle v} к c{\displaystyle c}, ускорение массивного объекта до скорости света потребует бесконечной энергии. Скорость света — это верхний предел скорости для объектов с ненулевой массой покоя. Это экспериментально установлено во многих тестах релятивистской энергии и импульса[36].

c Событие A предшествует событию B в красной системе отсчёта (СО), одновременно с B в зелёной СО и происходит после B в синей СО

Вообще информация или энергия не могут передаваться в пространстве быстрее, чем со скоростью света. Один из аргументов в пользу этого следует из контринтуитивного заключения специальной теории относительности, известного как относительность одновременности. Если пространственное расстояние между двумя событиями А и В больше, чем промежуток времени между ними, умноженный на c{\displaystyle c}, то существуют такие системы отсчёта, в которых А предшествует B, и другие, в которых B предшествует А, а также такие, в которых события А и B одновременны. В результате, если объект двигался бы быстрее скорости света относительно некоторой инерциальной системы отсчёта, то в другой системе отсчёта он бы путешествовал назад во времени, и принцип причинности был бы нарушен[Прим. 8][38]. В такой системе отсчёта «следствие» можно было бы наблюдать раньше его «первопричины». Такое нарушение причинности никогда не наблюдалось[19]. Оно также может приводить к парадоксам, таким как тахионный антителефон[39].

Античные учёные, за редким исключением, считали скорость света бесконечной[40]. В Новое время этот вопрос стал предметом дискуссий. Галилей и Гук допускали, что она конечна, хотя и очень велика, в то время как Кеплер, Декарт и Ферма по-прежнему отстаивали бесконечность скорости света.

Первую оценку скорости света произвёл Олаф Рёмер (1676). Он заметил, что, когда Земля на своей орбите находится дальше от Юпитера, затмения Юпитером спутника Юпитера Ио запаздывают по сравнению с расчётами на 22 минуты. Отсюда он получил значение для скорости света около 220 000 км/с — неточное значение, но близкое к истинному. В 1676 году он сделал сообщение в Парижской Академии, но не опубликовал свои результаты в виде формальной научной работы, в результате чего научное сообщество приняло идею о конечной скорости света только в 1727 году[41].

Спустя полвека, в 1728 году, открытие аберрации позволило Дж. Брэдли подтвердить конечность скорости света и уточнить её оценку: полученное Брэдли значение составило 308 000 км/с[42][43].

Впервые измерения скорости света, основанные на определении времени прохождения светом точно измеренного расстояния в земных условиях, выполнил в 1849 году А. И. Л. Физо. В своих экспериментах Физо использовал разработанный им «метод прерываний», при этом расстояние, преодолеваемое светом, составляло 8,63 км. Полученное в результате выполненных измерений значение оказалось равным 313 300 км/с. В дальнейшем метод прерываний значительно усовершенствовали и его использовали для измерений М. А. Корню (1876 г.), А. Ж. Перротен (1902 г.) и Э. Бергштранд[sv]. Измерения, выполненные Э. Бергштрандом в 1950 году, дали для скорости света значение 299 793,1 км/с, при этом точность измерений была доведена до 0,25 км/с[42].

Другой лабораторный метод («метод вращающегося зеркала»), идея которого была высказана в 1838 году Ф. Араго, в 1862 году осуществил Леон Фуко. Измеряя малые промежутки времени с помощью вращающегося с большой скоростью (512 об/с) зеркала, он получил для скорости света значение 298 000 км/с с погрешностью 500 км/с. Длина базы в экспериментах Фуко была сравнительно небольшой — двадцать метров[43][42][44][45][46]. В последующем за счёт совершенствования техники эксперимента, увеличения используемой базы и более точного определения её длины точность измерений с помощью метода вращающегося зеркала была существенно повышена. Так, С. Ньюком в 1891 году получил значение 299 810 км/с с погрешностью 50 км/с, а А. А. Майкельсону в 1926 году удалось понизить погрешность до 4 км/с и получить для скорости величину 299 796 км/с. В своих экспериментах Майкельсон использовал базу, равную 35 373,21 м[42].

Дальнейший прогресс был связан с появлением мазеров и лазеров, которые отличаются очень высокой стабильностью частоты излучения, что позволило определять скорость света одновременным измерением длины волны и частоты их излучения. В начале 1970-х годов погрешность измерений скорости света приблизилась к 1 м/с[47]. После проверки и согласования результатов, полученных в различных лабораториях, XV Генеральная конференция по мерам и весам в 1975 году рекомендовала использовать в качестве значения скорости света в вакууме величину, равную 299 792 458 м/с, с относительной погрешностью (неопределённостью) 4⋅10-9[48], что соответствует абсолютной погрешности 1,2 м/с[49].

Существенно, что дальнейшее повышение точности измерений стало невозможным в силу обстоятельств принципиального характера: ограничивающим фактором стала величина неопределённости реализации определения метра, действовавшего в то время. Проще говоря, основной вклад в погрешность измерений скорости света вносила погрешность «изготовления» эталона метра, относительное значение которой составляло 4⋅10-9[49]. Исходя из этого, а также учитывая другие соображения, XVII Генеральная конференция по мерам и весам в 1983 году приняла новое определение метра, положив в его основу рекомендованное ранее значение скорости света и определив метр как расстояние, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды[50].

Из специальной теории относительности следует, что превышение скорости света физическими частицами (массивными или безмассовыми) нарушило бы принцип причинности — в некоторых инерциальных системах отсчёта оказалась бы возможной передача сигналов из будущего в прошлое. Однако теория не исключает для гипотетических частиц, не взаимодействующих с обычными частицами[51], движение в пространстве-времени со сверхсветовой скоростью.

Гипотетические частицы, движущиеся со сверхсветовой скоростью, называются тахионами. Математически движение тахионов описывается преобразованиями Лоренца как движение частиц с мнимой массой. Чем выше скорость этих частиц, тем меньше энергии они несут, и наоборот, чем ближе их скорость к скорости света, тем больше их энергия — так же, как и энергия обычных частиц, энергия тахионов стремится к бесконечности при приближении к скорости света. Это самое очевидное следствие преобразования Лоренца, не позволяющее массивной частице (как с вещественной, так и с мнимой массой) достичь скорости света — сообщить частице бесконечное количество энергии просто невозможно.

Следует понимать, что, во-первых, тахионы — это класс частиц, а не один вид частиц, и во-вторых, тахионы не нарушают принцип причинности, если они никак не взаимодействуют с обычными частицами[51].

Обычные частицы, движущиеся медленнее света, называются тардионами. Тардионы не могут достичь скорости света, а только лишь сколь угодно близко подойти к ней, так как при этом их энергия становится неограниченно большой. Все тардионы обладают массой, в отличие от безмассовых частиц, называемых люксонами. Люксоны в вакууме всегда движутся со скоростью света, к ним относятся фотоны, глюоны и гипотетические гравитоны.

C 2006 года показано, что в так называемом эффекте квантовой телепортации кажущееся взаимовлияние частиц распространяется быстрее скорости света. Например, в 2008 г. исследовательская группа доктора Николаса Гизена (Nicolas Gisin) из университета Женевы, исследуя разнесённые на 18 км в пространстве запутанные фотонные состояния, показала, что это кажущееся «взаимодействие между частицами осуществляется со скоростью, примерно в сто тысяч раз большей скорости света». Ранее также обсуждался так называемый «парадокс Хартмана[en]» — кажущаяся сверхсветовая скорость при туннельном эффекте[52]. Анализ этих и подобных результатов показывает, что они не могут быть использованы для сверхсветовой передачи какого-либо несущего информацию сообщения или для перемещения вещества[53].

В результате обработки данных эксперимента OPERA[54], набранных с 2008 по 2011 год в лаборатории Гран-Сассо совместно с ЦЕРН, было зафиксировано статистически значимое указание на превышение скорости света мюонными нейтрино[55]. Сообщение об этом сопровождалось публикацией в архиве препринтов[56]. Полученные результаты специалисты подвергли сомнению, поскольку они не согласуются не только с теорией относительности, но и с другими экспериментами с нейтрино[57]. В марте 2012 года в том же тоннеле были проведены независимые измерения, и сверхсветовых скоростей нейтрино они не обнаружили[58]. В мае 2012 года OPERA провела ряд контрольных экспериментов и пришла к окончательному выводу, что причиной ошибочного предположения о сверхсветовой скорости стал технический дефект (плохо вставленный разъём оптического кабеля)[59].

  1. ↑ От поверхности Солнца — от 8 мин. 8,3 сек. в перигелии до 8 мин. 25 сек. в афелии.
  2. ↑ Скорость распространения светового импульса в среде отличается от скорости его распространения в вакууме (меньше, чем в вакууме), и может быть различной для разных сред. Когда говорят просто о скорости света, обычно подразумевается именно скорость света в вакууме; если же говорят о скорости света в среде, это, как правило, оговаривается явно.
  3. ↑ В настоящее время наиболее точные методы измерения скорости света основаны на независимом определении значений длины волны λ{\displaystyle \lambda } и частоты ν{\displaystyle \nu } света или другого электромагнитного излучения и последующего расчёта в соответствии с равенством c=λν{\displaystyle c=\lambda \nu }.[10]
  4. ↑ См. например «Частица Oh-My-God».
  5. ↑ Аналогом может быть посылка наудачу двух заклеенных конвертов с белой и чёрной бумагой в разные места. Открытие одного конверта гарантирует, что во втором будет лежать второй лист — если первый чёрный, то второй белый, и наоборот. Эта «информация» может распространяться быстрее скорости света — ведь вскрыть второй конверт можно в любое время, и там всегда будет этот второй лист. При этом принципиальная разница с квантовым случаем состоит только в том, что в квантовом случае до «открытия конверта»-измерения состояние листа внутри принципиально неопределённо, как у кота Шрёдингера, и там может оказаться любой лист.
  6. ↑ Однако, частота света зависит от движения источника света относительно наблюдателя, благодаря эффекту Доплера
  7. ↑ Помимо того, что измеряемые движущиеся объекты оказываются короче вдоль линии относительного движения, они также выглядят повёрнутыми. Этот эффект, известный как вращение Террелла, связан с разницей во времени между пришедшими к наблюдателю сигналами от разных частей объекта.[23][24]
  8. ↑ Считается, что эффект Шарнхорста позволяет сигналам распространяться немногим выше c{\displaystyle c}, но особые условия, при которых эффект может возникать, мешают применить этот эффект для нарушения принципа причинности[37]
  1. ↑ Where Are the Voyagers — NASA Voyager (неопр.). Voyager — The Interstellar Mission. Jet Propulsion Laboratory, California Istitute of Technology. Дата обращения 12 июля 2011. Архивировано 3 февраля 2012 года.
  2. Amos, Jonathan. Hubble sets new cosmic distance record, BBC News (3 марта 2016). Дата обращения 3 марта 2016.
  3. ↑ Is The Speed of Light Everywhere the Same?
  4. ↑ Начала теоретической физики, 2007, с. 169.
  5. ↑ Неванлинна, 1966, с. 122.
  6. 1 2 Чудинов Э. М. Теория относительности и философия. — М.: Политиздат, 1974. — С. 222—227.
  7. ↑ Эволюция физики, 1948, с. 167.
  8. ↑ Начала теоретической физики, 2007, с. 170.
  9. ↑ Неванлинна, 1966, с. 184.
  10. Сажин М. В. Скорость света // Физика космоса. Маленькая энциклопедия / Гл. ред. Р. А. Сюняев. — 2-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1986. — С. 622. — 783 с.
  11. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения 14 августа 2012. Архивировано 10 ноября 2012 года.
  12. Abbott B. P. et al. (LIGO Scientific Collaboration, Virgo Collaboration, Fermi Gamma-ray Burst Monitor, and INTEGRAL). Gravitational Waves and Gamma-Rays from a Binary Neutron Star Merger: GW170817 and GRB 170817A // The Astrophysical Journal. — 2017. — Vol. 848. — P. L13. — DOI:10.3847/2041-8213/aa920c. [исправить]
  13. Болотовский Б. М., Гинзбург В. Л. Эффект Вавилова — Черенкова и эффект Допплера при движении источников со скоростью больше скорости света в вакууме (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1972. — Т. 106, № 4. — С. 577—592.
  14. Миллер М. А., Суворов E. В. Групповая скорость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 544—545. — 704 с.
  15. Stachel, J. J. Einstein from «B» to «Z» – Volume 9 of Einstein studies (нем.). — Springer, 2002. — S. 226. — ISBN 0-8176-4143-2.
  16. Einstein, A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper (нем.) // Annalen der Physik. — 1905. — Т. 17. — С. 890—921. — DOI:10.1002/andp.19053221004. English translation: Perrett, W On the Electrodynamics of Moving Bodies (неопр.). Fourmilab. Дата обращения 27 ноября 2009. Архивировано 1 февраля 2013 года.
  17. Александров Е. Б. Теория относительности: прямой эксперимент с кривым пучком // Химия и жизнь. — 2012. — № 3.
  18. Hsu, J-P; Zhang, Y. Z. Lorentz and Poincaré Invariance (неопр.). — World Scientific, 2001. — Т. 8. — С. 543ff. — (Advanced Series on Theoretical Physical Science). — ISBN 981-02-4721-4.
  19. 1 2 Zhang, Y. Z. Special Relativity and Its Experimental Foundations (англ.). — World Scientific, 1997. — Vol. 4. — P. 172—173. — (Advanced Series on Theoretical Physical Science). — ISBN 981-02-2749-3. Архивная копия от 19 мая 2012 на Wayback Machine
  20. d’Inverno, R. Introducing Einstein’s Relativity (англ.). — Oxford University Press, 1992. — P. 19—20. — ISBN 0-19-859686-3.
  21. Sriranjan, B. Postulates of the special theory of relativity and their consequences // The Special Theory to Relativity (неопр.). — PHI Learning, 2004. — С. 20 ff. — ISBN 81-203-1963-X.

ускорение — это… Что такое 4-ускорение?

4-ускоре́ние (четы́ре-ускоре́ние, четырёхускоре́ние) в релятивистской кинематике — четырёхвектор, обобщающий классическое ускорение и определяющийся как производная 4-скорости по собственному времени частицы:

где

 — 3-ускорение,
 — безразмерная 3-скорость,

и является лоренц-фактором для 3-скорости u. Точка над переменной означает производную по координатному времени в данной системе отсчёта, а не по собственному времени

В мгновенной сопутствующей инерциальной системе отсчёта и то есть в такой системе отсчёта


Геометрически, 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии[1][2].

Таким образом, модуль 4-ускорения (которое является инвариантным скаляром) равен собственному ускорению, которое «чувствует» частица, движущаяся вдоль своей мировой линии. Мировые линии, имеющие постоянную величину 4-ускорения, являются кругами Минковского, то есть гиперболами (см. гиперболическое движение) .

Даже при релятивистских скоростях 4-ускорение связано с действующей на частицу 4-силой по формуле, обобщающей классический второй закон Ньютона:

здесь m — инвариантная масса частицы.

Скалярное произведение 4-скорости и соответствующего 4-ускорения всегда равно нулю. Это легко увидеть, продифференцировав тождество по собственному времени: Таким образом, 4-ускорение и сонаправленная с ней соответствующая 4-сила, действующие на частицу, всегда ортогональны её 4-скорости (и сонаправленному с 4-скоростью 4-импульсу ) — в отличие от классической механики.

В общей теории относительности компоненты четырёхвектора ускорения связаны с компонентами 4-скорости через ковариантную производную по собственному времени.

λμν — символы Кристоффеля). В специальной теории относительности координаты обычно выражаются в прямолинейной инерциальной системе отсчёта, так что член с символами Кристоффеля исчезает, но иногда, когда авторы для описания ускоренной системы используют криволинейные координаты, система отсчёта не является инерциальной, но физика всё равно остаётся спецрелятивистской, так как метрика является просто координатным преобразованием метрики пространства Минковского. В таком случае должно быть использовано вышеприведённое выражение, потому что здесь символы Кристоффеля не все равны нулю.

Когда 4-сила равна нулю, на частицу действует только гравитация, и четырёхвекторная версия второго закона Ньютона (см. выше) сводится к уравнению геодезической. Частица, совершающая геодезическое движение, имеет нулевое значение для каждого компонента 4-вектора ускорения. Это согласуется с тем, что гравитация не является силой.

См. также

Примечания

  1. Pauli W. . — 1921. — P. 74.
  2. Synge J.L., Schild A. . — 1949. — P. 149,153 and 170.

Литература

  • Pauli W. Theory of Relativity. — republished in 1981 Dover. — B.G. Teubner, Leipzig, 1921. — ISBN 978-0-486-64152-2
  • Papapetrou A. Lectures on General Relativity. — D. Reidel Publishing Company, 1974. — ISBN 90-277-0514-3
  • Rindler, Wolfgang Introduction to Special Relativity (2nd). — Oxford: Oxford University Press, 1991. — ISBN 0-19-853952-5
  • Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. — republished in 1978 Dover. — University of Toronto Press, 1949. — ISBN 0-486-63612-7
Разное

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о